Une équation différentielle est une équation contenant une ou des dérivées d'une fonction à une ou plusieurs variables.
L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la plus haute dérivée apparaissant dans l'équation.
Une équation différentielle linéaire d'ordre n est une équation différentielle qui peut s'écrire sous la forme
générale suivante :
Une équation différentielle linéaire homogène est une équation différentielle linéaire dans laquelle F( x ) = 0. On dit aussi qu'elle est « sans second membre ».
Une fonction y = u(x) est une solution explicite de l'équation différentielle (1) sur un intervalle ] a, b [, si la substitution dans l'équation de y et ses dérivées, par u(x) et ses dérivées, donne une identité pour tout x Î ] a, b
Une relation de la forme G(x , y) = 0 est une solution implicite de l'équation différentielle (1) si G(x , y) = 0 définit une ou plusieurs solutions explicites, de la forme y = f(x) pour cette équation.
La solution particulière de l'équation différentielle (1), à laquelle sont associées les conditions initiales
est une solution de l'équation, valable sur un intervalle I de la droite réelle, qui satisfait également les n conditions initiales.
On appelle solution générale de l'équation différentielle (1), une fonction (ou relation) contenant n constantes arbitraires essentielles et satisfaisant l'équation différentielle. (n est égal à l'ordre de l'équation différentielle.)
Une équation différentielle est dite directement intégrable si elle peut se ramener à la forme
Voici les étapes à suivre pour résoudre une équation différentielle directement intégrable.
1- intégrez n fois, en n'oubliant pas la constante d'intégration à chaque fois.
Après avoir effectué les n intégrales, il y aura n constantes d'intégration : C1, C2, . . . , Cn.
2- S'il y a des conditions initiales, il est préférable d'évaluer les constantes arbitraires à mesure qu'elles apparaissent.
Supposez que x > 0.
C'est une équation d'ordre 2; il faudra donc intégrer 2 fois.
On utilise tout de suite la condition initiale y'(1) = -1 pour évaluer C1 :
On intègre une dernière fois pour avoir y :
On utilise maintenant la condition initiale y(1) = 3 pour évaluer C2 :
