On s'intéresse à la quantité q(t) d'une substance (sel, polluant, drogue, etc.) présente dans un environnement (réservoir, lac, patient, etc.) en supposant que cette substance peut être introduite dans l'environnement à un certain taux régulier (input) et qu'elle peut s'échapper de cet environnement à un autre taux (output). Comme représente le taux de variation de cette quantité, il est raisonnable de supposer qu'on aura la loi d'équilibre suivante : ------------------------------------------------- Considérons l'exemple classique suivant : Un réservoir contient initialement 500 litres d'eau pure. Ce réservoir est alimenté par un conduit qui fournit de l'eau à un débit de 4 litres/minute, avec une concentration de sel de 100 gr/litre. Un autre conduit, au bas du réservoir, laisse l'eau salée s'échapper du réservoir, à un rythme de 4 litres/minute. Déterminez la quantité de sel présente dans le réservoir en fonction du temps. Donnez la quantité de sel dans l'eau après 10 minutes, et après une heure. Soit q(t) : la quantité de sel (en kilogrammes) dans le réservoir au temps t (en minutes) puisque l'eau est pure initialement input = le taux de variation de la quantité entrante = le débit multiplié par la concentration       On remarque que l'input est constant. Nous supposerons que la solution est maintenue uniforme par brassage. À un instant t donné, la concentration dans le réservoir est donnée par . Comme l'eau du réservoir ayant cette concentration de sel quitte à un taux de 4 litres/minute, on peut déduire que . Nous pouvons donc écrire l'équation différentielle de la quantité de sel dans l'eau : , avec . C'est une équation différentielle linéaire; nous en trouvons la solution générale : Puis utilisons la condition initiale pour trouver Après 10 minutes, il y aura kg de sel dans ce réservoir. Après une heure, il y aura kg de sel dans le réservoir.   REMARQUE : Considérons le cas où le débit à la sortie est différent de celui à l'entrée; disons par exemple qu'il sort 3 litres/minute et qu'il entre 4 litres/minute. La concentration dans le réservoir, au temps t, sera , et non pas puisque, à chaque minute, le volume augmentera de 1 litre . L'équation différentielle à résoudre est et sa solution donne -------------------------------------------------