Technique de réduction d'ordre

Soit l'équation linéaire homogène d'ordre 2

Si on connaît une solution, par exemple y1(x) ou plus simplement y1, alors la substitution y = v y1 dans l'équation différentielle permettra après simplifications d'obtenir une équation d'ordre 1 (de forme linéaire et séparable).

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Exemple :


En substituant dans l'équation différentielle, on obtient :


On obtient l'équation suivante qui est d'ordre 1 , pouvant se résoudre par variables séparables ou comme une équation linéaire d'ordre 1 :


La solution de cette dernière équation est

La solution générale de l'équation initiale sera :
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De façon plus générale, on peut montrer que si y1 est une solution de

alors la substitution y = v y1 dans celle-ci donnera :

On obtiendra ensuite une équation d'ordre 1 (linéaire et séparable)