La méthode des coefficients indéterminés vise à trouver une solution particulière à Comme vu en 4-1 , en additionnant à cette solution particulière la solution homogène, on trouvera la solution générale de cette équation linéaire à coefficients constants. L'idée générale derrière cette méthode est de poser comme candidat pour une solution particulière une ou des fonctions similaires à celles apparaissant dans H(x) mais avec des coefficients à déterminer. On substitue ensuite ce candidat dans l'équation pour déterminer la valeur des coefficients inconnus. ------------------------------------------------- Exemple : Après substitution de ce candidat dans l'équation, on trouve La solution particulière est donc Comme la solution de l'équation homogène est La solution générale de l'équation initiale est : ------------------------------------------------- Cette méthode ne peut être utilisée que lorsque la fonction H(x) est constituée de sommes ou produits de fonctions polynomiales et/ou de fonctions de type Règle de base pour la méthode des coefficients indéterminés : Poser comme candidat et celles qui en proviennent par dérivations successives et où A, B, C, ... , N sont des coefficients à déterminés Il suffit par la suite de substituer ce candidat dans l'équation originale. ------------------------------------------------- Exemple : ------------------------------------------------- La méthode décrite précédemment peut échouer s'il y a chevauchement entre la solution homogène (solution générale de l'équation homogène associée) et le candidat normal obtenu par la procédure décrite ci-haut. ------------------------------------------------- Exemple : L'équation homogène associée est : La solution homogène sera Le candidat-solution pour la méthode des coefficients indéterminés est Après substitution de ce candidat dans l'équation d'origine, on trouve Comme le candidat est essentiellement identique à une partie de la solution homogène, il est naturel que sa substitution dans l'équation donne un résultat nul. Dans cet exemple, on règle le problème en utilisant plutôt le candidat En substituant, on trouve La solution générale de l'équation de départ est ------------------------------------------------- On peut généraliser la résolution de ce type de difficultés dans l'énoncé suivant. Règle d'exception pour la méthode des coefficients indéterminés : Si un ou des termes du candidat yp (se rapportant à une fonction dans H(x) ) apparaît (ou apparaissent) aussi dans la solution homogène yh , il faut multiplier ce (ou ces) terme(s) par une puissance de la variable indépendante x juste assez élevée pour qu'il n'y ait plus chevauchement de termes entre yh et yp. Comme on traite ici d'équations d'ordre 2, il faudra multiplier par x ou x2 les termes fautifs. Attention : on ne multiplie que les termes fautifs, pas nécessairement tous les termes du candidat. ------------------------------------------------- Exemple : Après calculs, on trouve la solution homogène Le candidat de base pour la méthode des coefficients indéterminés est Comme il y a chevauchement de termes, on doit modifier le candidat : On remarque que l'on a multiplié les 2 premiers termes par la variable t, ces deux fonctions doivent être traitées ensemble, ils provenaient de la fonction exponentielle dans le terme H(t) de l'équation différentielle. Après substitution dans l'équation et simplifications, on trouve : La solution générale de l'équation initiale est : ------------------------------------------------- Si en appliquant cette méthode, vous n'obtenez pas une solution unique pour la valeur des coefficients indéterminés, c'est que votre candidat-solution n'est pas adéquat.