Un objet, de masse m, est suspendu à un ressort fixé à un support ; 0 représente le point d'équilibre après avoir suspendu l'objet et x représente la position de celui-ci par rapport au point d'équilibre, avec la direction positive vers le bas.
La forme générale de l'équation différentielle modélisant ce mouvement harmonique est :
où
m = masse de l'objet
b = constante de proportionnalité de la force d'amortissement
(on considère ici un amortissement proportionnel à la vitesse)
k = constante de rappel du ressort
f(t) = force extérieure appliquée sur l'objet
Si b = 0 et f(t) = 0 alors on dit que l'on a un mouvement harmonique simple. Si seulement f(t) = 0 alors on a un mouvement harmonique amorti. Lorsque f(t) ¹ 0 le mouvement harmonique est dit forcé.
Exemple :
Un objet ayant une masse de 500 gr est suspendu à un ressort qui s'étire alors de 20 cm. On considère également une force d'amortissement égale à la vitesse et une force extérieure de 5 sin(5t) newtons (N).
On travaille ici avec
Pour simplifier les calculs, considérons que g = 10 m/s2 au lieu de 9,81. Lorsque l'objet est suspendu et qu'il y a équilibre, cela signifie que la force de rappel du ressort est égale au poids de l'objet. En posant s = élongation du ressort en suspendant l'objet, on trouve :
L'équation différentielle de ce mouvement est :
En appliquant les techniques vues plus haut dans ce chapitre, on trouve la solution générale suivante :
On remarque qu'après quelques secondes, la première partie de la solution devient négligeable (vu le terme exponentiel qui tend vers 0). Il ne restera ensuite que le régime permanent qui peut se réécrire, à l'aide d'une transformation trigonométrique :
En régime permanent, l'objet oscillera de 37cm de chaque coté du point d'équilibre avec une période de 2p/5 radian et un angle de phase (ou un retard) de 0,3805 rad (21,8º).
Il est intéressant de noter ici que les conditions initiales de l'expérience, soient la position et la vitesse initiales, n'ont un impact que dans la partie transitoire de la réponse et non au niveau du régime permanent.