où les ai et F(x) ne dépendent pas de y et où a0 ¹ 0.
Si F(x) = 0, on dit qu'on a une équation linéaire homogène. On peut simplifier la notation pour ces équations générales en définissant l'opérateur " L[ ] " tel que
Ainsi on peut abréger les notations :
Les notions vues pour les équations d'ordre 2 s'appliquent, avec les ajustements appropriés, aux équations d'ordre n.
Solution homogène
Considérons l'équation linéaire homogène d'ordre n à coefficients constants :
Examinons l'impact de l'opérateur L[ ] sur un candidat-solution de type exponentiel.
On aura une solution homogène si
On obtient l'équation caractéristique de cette équation différentielle. Les racines de ce polynôme de degré n serviront à déterminer un ensemble fondamental de solutions, c'est à dire un ensemble de n fonctions linéairement indépendantes obtenues en utilisant (et adaptant au besoin) les règles vues pour l'équation d'ordre 2. En combinant ces fonctions avec n constantes arbitraires réelles, on obtient la solution homogène cherchée.
Exemple :
L'équation caractéristique à résoudre est :
Les racines sont
En utilisant les règles de la section 4-4, on obtient la solution générale :
L'équation caractéristique à résoudre est :
On a donc m = -2 une racine triple. En adaptant la règle vue pour une racine double, on trouve les 3 solutions indépendantes :
La solution générale est :
La recherche d'une solution particulière de l'équation d'ordre n demeure essentielle pour permettre d'en trouver la solution générale.
La méthode des coefficients indéterminés et la méthode de variation des paramètres peuvent encore être utilisées pour trouver cette solution particulière. Les calculs seront évidemment plus longs que pour ordre 2.
Exemple :
L'équation caractéristique à résoudre est :
Les racines sont
Avec la méthode des coefficients indéterminés, le candidat solution particulière est :
La solution générale de l'équation initiale est :
La méthode de variation des paramètres, vue à la section 4-6, doit être adaptée pour tenir compte de l'ordre de l'équation. On ne fournira pas une formulation générale pour " ordre n " car il est rare qu'on utilise cette méthode pour un ordre supérieure à 3.
Prenons une équation d'ordre 3 pouvant s'écrire sous la forme générale suivante :
où les pi et F(x) ne dépendent pas de y.
Remarque : le coefficient de la dérivée troisième doit être 1.
Supposons que l'on connaisse un ensemble fondamental de solutions { y1 , y2 , y3 } de l'équation homogène associée. On a donc,
Pour la solution particulière, on pose :
et les 3 fonctions L1 , L2 et L3 se trouvent en résolvant le système suivant :
On comprend que les calculs à l'aide de cette méthode peuvent devenir lourds. De plus, on peut être confronté à des difficultés de calcul de primitives pour déterminer les fonctions Li à partir de la solution du système d'équations mentionné.